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問題の研究
当時の私がこの問題に対し、どの程度考えたのか、おおまかに説明したい
まず単純に計算してみると、およそ１００００位までは全て計算結果は１になる
ここまでは力ずくで判っている
仮に答としてｎがあったとする（ｎ＞１００００）
自然数の数列の上でこのｎがどのようにふるまうかを考えると、３倍して１を足し
２で割れるが絶対に４では割れない（割れたらｎより小さい奇数になり矛盾する）
その数をｎ１とする、以下計算して得られた奇数の群（ｎ、ｎ１、ｎ２、・・・・）が存在
し、ある回数繰り返すともとの数、ｎになる
ここでｎ１、ｎ２、・・・は全てｎより大きな数でなくてはならない
この奇数の群を見つける問題に変換できる
１００００より大きい数では３倍した後１を足してもほとんど３倍した数と大きさは
変らない、つまりｎとはｎの３の階乗と２の階乗の非常に接近した数であるはず
である
例えば、３の２乗と２の３乗は９と８で１しか違わない
さらに３の階乗の方が少しだけ小さい（１００００分の１以下）事が要求される
３倍して１を足すからである
そういう数でたまたま３倍して１を足した正規の計算でイコールの数がｎとなる
数字を探す事になる
ところで３のｘ乗と２のｙ乗を比較してみると
３ ２ ３倍して１を足した
４
８
９ １６ （１２）
２７ ３２ （３９）
６４
８１ １２８ （１２０）
２４３ ２５６ （３６３）
５１２
７２９ １０２４ （１０９２）
２０４８
２１８７ ４０９６ （３２７９）
６５６１ ８１９２ （９８４０）
１６３８４
１９６８３ ３２７６８ （２９５２３）
５９０４９ ６５５３６ （８８５７２）
１３１０７２
となって、なかなか近い数字が表れない
これが離れれば離れるほど、間に介在する奇数が増える事になる
なぜなら３倍して１を足し、奇数になるまで２で割るのであるから、３を掛けた
数は１を足し２で割った後、全て求める群に含まれれなければならない
それまでの数が全て最終的に１になったのに、そうならない数が接近した状態
でたくさん存在する事になる
だから有り得ないとは言わないが、確率的に非常に低いと言う事は間違いない
可能性が高いのがせいぜい１０個程度の群で構成されているケースである
求める群が非常に少ない数で構成されているとすると、可能性が高いのが３の
５乗の項で７２９と１０９２の間に１０２４がある、どの程度の数字ならば１０９２で
なく１０２４に近いのかは計算可能である
誤差の大きさは、（１０９２−１０２４）／１０２４＝６．６％
３の５乗で一致するとすれば、せいぜい２０〜1００位の数字でないとつじつまが
合わない
そこで実際に計算してみると、
５５が３９番目に５３になるが、その前に５５より小さい数字が何回か表れる
５５より小さい数字はその前の段階で全て１になる事が検証されているので矛盾
する、事実その後１に終息する
次は６３だが３４番目に６１になる、３４番目以前に小さい数字は無い
この２件は偶然近い数字になったと判断できる
そうではなくて５番目に予想通り近い数字になったのは
７３が５番目に７１
１０９が５番目に１０７
の２件だけである
この２件がイコールにならないということは、個数が五個の群は存在しないと言う
事になる
例えば１００００の近辺で計算してみる
ただし、３倍して１を足した結果の偶数を２で割るとみな１になってしまうので、便
宜上３倍して１を足すのを繰り返し、１０２４Ｘ１００００と比較する
１０００１、３００１０、９００３３、２７０１０２、８１０３０９、２４３１２３０、７２９３６３３
つまり１０２４００００よりも相当小さい
求めるｎは１００００よりも大きい数字では３の５乗つまり、計算を５回繰り返す以上
の回数でないとＮと同じ数にはならない
１００の近辺だと１０２４に１０９２が近ずくが、既に計算済で該当する数字は無い
また、仮にｎの次のｎ１が７２９のように５乗した値だとすると、間に入る奇数は全
てｎより大きく５個以上存在するはずである
５回繰り返したレベルでの１を足した数字の増分は１００００近辺ではおよそ
７２９００００／７２９３６３３＝０．０５％
先ほど２の階乗との誤差１００００分の１程度と見積もったが計算した結果も
それよりは大きいがそれでも相当に小さい誤差である事が判る
仮にｎが１００００近辺でなく１０００００近辺だとすると、誤差は０．００５％程度となる
２の階乗と３の階乗とでこれほど近い物は１０乗程度の組合せの中では存在しな
い、従って全ての奇数は３倍して１を足し、奇数になるまで２で割って・・・を繰り返
すと全て１になる
とても証明と呼べるようなものではないが、仮に求める数ｎがあったと仮定すると
その後に続く奇数ｎ１、ｎ２・・・はｎのたかだか１０００倍した中に最低５個存在する
事になる
これがありえないのである
これは次に近い３の１０乗近辺でも同じである
先ほどと同様の調査で３００００まで調べたが、１０回目に元の数ｎに近い数は１
件もない
ちなみに、何回か計算を繰り返し、間にｎより小さい数字がなく、非常に近い数字
（プラスマイナス２以内）になるのは先ほどの６３の他には１００００以下では１件も
ない、もとの数ｎより大きくなったり小さくなったりと繰り返しながら偶然ｎに近い数
字になるものは幾つかあるが、一度でも小さくなればそれは１に終息する事が
そこまでの計算過程で証明されているので、絶対にｎにはならない
毎回３倍するのと、２の階乗で割るのとどちらが大きいかを計算すると、２の階乗
の方が大きい、つまり回数を重ねるほど小さくなる確率が増大することになる
そのため、この計算を繰り返すことで基のｎになるためには、比較的小さい群で
なければならない、これがせいぜい１０個程度の群と予想した根拠である
実は学生時代に検討したのはこの確率であった
しかし、１００００までの中で該当しそうな数字が２桁の数字で３個しかなく、それら
が全てニアピン賞であることから、それ以上大きな数字を計算しても該当する群
は存在しないと考える
念のため２００００まで計算したが一つもなかった
私が使用したプログラムを参考までに掲載する
言語はＸＢＡＩＳＩＣというＢＡＩＳＩＣに構造化言語の良さを取り入れた非常に使い勝手
の良い言語である
インタープリタモードの他、コンパイラも付いている
なにより優秀なのは今回の様に大きな数を扱うために、６４ビットの自然数を扱う
事が出来る事にある
並の言語ではせいぜい１００００程度の数を計算するだけで桁あふれし、私が
学生時代にやらかした失敗をする羽目になるだろう
プログラムはまず関数が６４ビット自然数であることを定義する所から始まり、計算
をスタートする数を設定する、そこから、Ｎ４で１００００先まで計算する
途中どのような経過で１に終息したのか１行に１０個単位で表示する
１００回計算しても１にならない場合は念のためストップするようにしてある
またもとの数と２以下の差の場合も中断し、継続するか確認できる
恐るべきことに２００００を超えると、１００計算しても１にならない数が幾つか存在する
input文は計算を中断するためであって、使用しているX2は計算では使用しないので
数字であれば何でもよいから入れると計算を継続する
他の言語系でも簡単に移植できるように構造化でなくｇｏｔｏ文だけで記述
した、いわゆるN88BASIC仕様である
XＢＡＩＳＩＣはフリーソフトであり、ネットで検索しロードさせていただいた
こういったちょっとした計算では大変重宝している
作者の方に感謝を申し上げる
Dim N as Qword
Dim N2 as Qword
Dim N3 as Qword
Dim N4 as Qword
Dim N5 as Qword
Dim N6 as Qword
Dim C as integer
Dim C2 as integer
Dim X as Qword
Dim X2 as Qword
N=20001
N4=N+10000
N5=N
C=1
C2=1
*L1
N3=N*3+1
*L3
N2=N3/2
if N2=1 then goto *L4
X=N3-N2*2
if X=1 then goto *L2
N3=N2
goto *L3
*L2
C=C+1
C2=C2+1
if N<N4 then print N3;" ";
if C>10 then C=1:print " "
if C2>100 then ｉｎｐｕｔ X2
if N3>N5 then N6=N3-N5 else N6=N5-N3
if N6<3 then input X2
N3=N3*3+1
goto *L3
*L4
C=1
C2=1
N=N+2
N5=N
if N<N4 then print " ":print N;" "
if N>N4 then goto *L5
goto *L1
*L5
end
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